В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее - это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 - точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.
Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.
При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении
Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности
В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .
где p S - выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р - доля признака в генеральной совокупности, Z - критическое значение стандартизованного нормального распределения, n - объем выборки.
Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.
Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.
Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.
В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности
Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:
Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:
Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:
Доверительные интервалы и этические проблемы
При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них - как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка - именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.
Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.
Следующая заметка
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462
Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.
Взяв выборку из популяции, мы получим точечную оценку интересующего нас параметра и вычислим стандартную ошибку для того, чтобы указать точность оценки.
Однако, для большинства случаев стандартная ошибка как такова не приемлема. Гораздо полезнее объединить эту меру точности с интервальной оценкой для параметра популяции.
Это можно сделать, используя знания о теоретическом распределении вероятности выборочной статистики (параметра) для того, чтобы вычислить доверительный интервал (CI – Confidence Interval , ДИ – Доверительный интервал ) для параметра.
Вообще, доверительный интервал расширяет оценки в обе стороны некоторой величиной, кратной стандартной ошибке (данного параметра); два значения (доверительные границы), определяющие интервал, обычно отделяют запятой и заключают в скобки.
In statistics, a confidence interval (CI) is a type of interval estimate of a population parameter. It is an observed interval (i.e., it is calculated from the observations), in principle different from sample to sample, that frequently includes the value of an unobservable parameter of interest if the experiment is repeated. How frequently the observed interval contains the parameter is determined by the confidence level or confidence coefficient. More specifically, the meaning of the term «confidence level» is that, if CI are constructed across many separate data analyses of replicated (and possibly different) experiments, the proportion of such intervals that contain the true value of the parameter will match the given confidence level. Whereas two-sided confidence limits form a confidence interval, their one-sided counterparts are referred to as lower/upper confidence bounds (or limits).
Доверительный интервал показывает, в каком диапазоне расположатся результаты выборочных наблюдений (опросов). Если мы проведем 100 одинаковых опросов в одинаковых выборках из единой генеральной совокупности (например, 100 выборок по 1000 человек в каждой в городе с населением 5 миллионов человек), то при 95%-й доверительной вероятности, 95 из 100 результатов попадут в пределы доверительного интервала (например, от 28% до 32% при истинном значении 30%). Например, истинное количество курящих жителей города составляет 30%. Если мы 100 раз подряд выберем по 1000 человек и в этих выборках зададим вопрос «курите ли Вы?», в 95 из этих 100 выборок при 2%-м доверительном интервале значение составит от 28% до 32%.
Формулы для построения доверительных интервалов с практическими примерами можно найти, например, .
Интерпретация доверительных интервалов
При интерпретации доверительного интервала нас интересуют следующие вопросы:
Насколько широк доверительный интервал?
Широкий доверительный интервал указывает на то, что оценка неточна; узкий указывает на точную оценку.
Ширина доверительного интервала зависит от размера стандартной ошибки, которая, в свою очередь, зависит от объёма выборки и при рассмотрении числовой переменной от изменчивости данных дают более широкие доверительные интервалы, чем исследования многочисленного набора данных немногих переменных.
Включает ли ДИ какие-либо значения, представляющие особенный интерес?
Можно проверить, ложится ли вероятное значение для параметра популяции в пределы доверительного интервала. Если да, то результаты согласуются с этим вероятным значением. Если нет, тогда маловероятно (для 95% доверительного интервала шанс почти 5%), что параметр имеет это значение. ()
Предлагают незаменимые и удобные методы для различных статистических расчетов и анализа. Одной из таких особенностей является интервал доверия, который используется для выражения степени неопределенности, связанной с исследованием. Доверительные интервалы в excel — это оценка событий в сочетании с верификацией вероятностей. Они обеспечивают вероятный диапазон выборочной пропорции или выборочного среднего от истинной доли / среднего, найденного в популяции и отображаются как: оценка +/- погрешность.
В любом опросе и исследовании доверительные интервалы — отличный способ понять роль ошибок выборки в средних процентных показателях. Для любого опроса, поскольку исследователи всегда лишь изучают долю из более крупного расчета, в их оценках есть неопределенность, из-за чего будут ошибки выборки.
Доверительный интервал (ДИ) дает понимание о том, насколько может колебаться. Он представляет собой диапазон значений, которые одинаково центрированы от известного среднего числа выборки. Чем выше уровень доверия (в процентах), тем меньше интервал, более точными будут результаты. Исследование образцов с большей изменчивостью или большим стандартным отклонением порождает более широкие доверительные интервалы в excel.
Существует соотношение обратного квадратного корня между ДИ и размерами выборки. Меньшие размеры генерируют более широкие ДИ, поэтому для получения более точных оценок или сокращения пороговой погрешности наполовину, необходимо примерно в четыре раза увеличить размер выборки.
Построение среднего значения совокупности
Чтобы построить доверительный интервал для среднего значения совокупности, предоставленной вероятности и размера выборки, нужно применить функцию "ДОВЕРИТ" в Excel, которая использует нормальное распределение для вычисления значения доверия. Предположим, исследователи случайно выбрали 100 человек, измерили их вес и установили средний в 76 кг. Если нужно узнать средний показатель для людей в конкретном городе, маловероятно, что он для более крупной группы будет иметь такое же среднее значение, как и выборка, состоящая всего из 100 человек.
Гораздо более вероятно, что выборочное среднее в 76 кг может быть приблизительно равно (неизвестному) популяционному среднему, и нужно знать, насколько точным является оценочный ответ. Эта неопределенность, связанная с оценкой интервалов, называется уровнем достоверности, обычно 95%. Функция "ДОВЕРИТ" (альфа, сигма, n) возвращает значение, используемое для построения ДИ среднего числа совокупности. Предполагается, что данные выборок соответствуют стандартным нормальным распределениям с известной сигмой стандартного отклонения, а размер выборки равен n. Перед тем как рассчитать доверительный интервал в excel 95% уровня, принимают альфу как 1 - 0,95 = 0,05.
Форматы функции CONFIDENCE
Функция CONFIDENCE или ДОВЕРИТ, определяется пределами доверия — это нижняя и верхняя границы ДИ и являются 95% показателями. Например, при изучении предпочтении, было обнаружено, что 70% людей предпочитают Боржоми, по сравнению с Пепси при ДИ в 3% и уровнем доверия 95%, тогда существует 95-процентная вероятность того, что истинная пропорция составляет от 67 до 73%.
Функции "ДОВЕРИТ" отображаются под различными синтаксисами в разных версиях Excel. Например, Excel 2010 имеет две функции: "ДОВЕРИТ.НОРМ" и "ДОВЕРИТ.T", которые помогают вычислять ширину "ДИ. ДОВЕРИТ.НОРМ" используется, когда известно стандартное отклонение измерения. В противном случае применяется "ДОВЕРИТ.T", оценка осуществляется по данным выборки. Доверительные интервалы в excel до 2010 года имели только функцию "ДОВЕРИТ". Его аргументы и результаты были аналогичными аргументам функции "ДОВЕРИТ.НОРМ".
Первый по-прежнему доступен в более поздних версиях Excel для обеспечения совместимости. #NUM! Error — происходит, если альфа меньше или равна 0, или больше или равна 0. Данное стандартное отклонение меньше или равно 0. Указанный размер аргумента меньше единицы. #СТОИМОСТЬ! Error — происходит, если любой из предоставленных аргументов не является числовым.
"ДОВЕРИТ." классифицируется по функциям статистики и будет высчитывать и возвращать ДИ для среднего значения. Доверительные интервалы в excel могут быть чрезвычайно полезными для финансового анализа. Как аналитик, "ДОВЕРИТ." помогает в прогнозировании и корректировке для широкого круга целей, путем оптимизации принятия финансовых решений. Это выполняется с применением графического отображения данных в наборе переменных.
Аналитики могут принимать более эффективные решения на основе статистической информации, предоставляемой нормальным распределением. Например, они могут найти связь между полученным доходом и расходами, затрачиваемыми на предметы роскоши. Чтобы вычислить ДИ для среднего значения совокупности, возвращаемое доверительное значение, должно быть добавлено и вычтено из среднего значения выборки. Например, для среднего значения выборки x: Доверительный интервал = x ± ДОВЕРИТ.
Пример расчета доверительного интервала в excel - предположим, что нам даны следующие данные:
- Уровень значимости: 0,05.
- Стандартное отклонение населения: 2,5.
- Размер выборки: 100.
Функция доверительного интервала Excel используется для расчета ДИ со значением 0,05 (т. е. уровень достоверности 95%) для среднего времени выборки для изучения времени коммутации в офисе на 100 человек. Среднее значение образца составляет 30 минут, а стандартное отклонение составляет 2,5 минуты. Доверительный интервал составляет 30 ± 0,48999, что соответствует диапазону 29,510009 и 30,48999 (минут).
Интервалы и нормальное распределение
Наиболее знакомое использование доверительного интервала, означает «погрешность ошибок». В опросах погрешность составляет плюс или минус 3%. ДИ полезны в контекстах, которые выходят за рамки этой простой ситуации. Они могут использоваться с ненормальными распределениями, которые сильно искажены. Для вычисления прогноза доверительного интервала в excel требуются следующие строительные блоки:
- Среднее значение.
- Стандартное отклонение наблюдений.
- Число опросов в выборке.
- Уровень доверия, который нужно применить к ДИ.
Перед тем как построить доверительный интервал в excel, изучают его вокруг среднего значения выборки, начинают с принятия решения о том, какой будет принят процент других средств выборки, если они были собраны и рассчитаны в этом интервале. Если это так, то 95% возможных образцов будут захвачены ДИ с 1,96 стандартных отклонений выше и ниже образца.
Стандартная ошибка среднего
Допустимый интервал или погрешность не принимаются с учетом ошибки измерения или смещения обзора, поэтому фактическая неопределенность может быть выше, чем указана. Перед тем как посчитать доверительный интервал в excel, расчет должен быть обеспечен хорошим сбором данных, надежными измерительными системами и удовлетворительным дизайном обследования.
Доверительные интервалы для среднего значения могут быть получены несколькими способами: с помощью SigmaXL, описательной статистики, гистограмм,1-образного t-теста и интервалов доверия, односторонних диаграмм ANOVA и Multi-Vari. Чтобы графически иллюстрировать ДИ для среднего значения «Удовлетворенность», создают диаграмму Multi-Vari (с 95% CI Mean Options) с использованием данных Customer Data.xls. Точки соответствуют отдельным данным. Маркеры показывают максимальный доверительный предел 99%, и средний 95%-ый предел.
Теперь тестирование гипотезы будут использоваться для более точных средних оценок удовлетворенности и определения результатов.
Доверительные интервалы очень важны для понимания полученных данных и принятия решений по ним. Чтобы рассчитать ДИ для дискретной пропорции, используют SigmaXL> Шаблоны и калькуляторы> Основные статистические шаблоны> 1 интервал Перед тем как найти доверительный интервал в excel, выполняют следующие действия:
- Открыть Client Data.xls.
- Нажать вкладку «Лист 1» или F4, чтобы активировать последний рабочий лист. Нажать SigmaXL> Статистические инструменты> Описательная статистика.
- Установить флажок «Использовать всю таблицу данных».
- Нажать «Далее».
- Выбрать «Общая удовлетворенность», нажать «Числовые переменные данных» (Y).
- Выбрать «Тип клиента», нажать «Категория группы» (X1). По умолчанию уровень доверия 95%.
- Нажать «ОК».
Обратить внимание, что доверительный интервал в 95% означает: в среднем истинный параметр популяции (средний, стандартное отклонение или пропорция) будет находиться в интервале 19 раз из 20. Будет представлен пользователю: 95%-ый доверительный интервал для каждого отсчета. Среднее значение (95% CI). Доверительный интервал 95% для стандартного отклонения (95% CI Sigma — не путать это с уровнем качества Sigma Process).
Статистика и уровни доверия
Доверительный интервал не является числом, в котором истинное значение параметра найдено с точностью. Действительно, случайная величина теоретически может принимать все возможные значения в рамках законов физики. Доверительный интервал — это фактически область, в которой истинное (неизвестное) значение параметра, изучаемого в популяции, наиболее вероятно с вероятностью, которую выбирают. При его использовании интервал основан на вычислении доверительного порога, погрешности и коэффициента запаса.
Перед тем как определить доверительный интервал в excel, определяют эти элементы, которые зависят от параметров:
- Изменчивости измеряемых характеристик.
- Размера выборки: чем она больше, тем более высокая точность.
- Уровень доверия - s.
Уровень доверия представляет собой гарантированную уверенность. Например, с уровнем достоверности 90%, это означает, что 10% риск будет неправильным. Как правило, хорошей практикой является выбор достоверности в 95%. Таким образом, максимальный доверительный уровень является большим, чем больше размер выборки. Маржинальный коэффициент является индикатором, выведенным непосредственно из доверительного порога. В таблице приведены некоторые примеры для наиболее распространенных значений.
| Уровень доверия s | Коэффициент маржи при n> 30 |
В случае когда нужно оценить среднее значение популяции из ее выборки, определяют доверительный интервал. Он зависит от размера выборки и закона переменной. Формула для расчета доверительного интервала в excel выглядит следующим образом:
- Нижняя граница интервала = средний пробег — коэффициент поля * стандартную ошибку.
- Верхняя граница диапазона = примерный средний + коэффициент поля * стандартную ошибку.
- Значение t будет зависеть от размера выборки: n> 30: коэффициент запаса нормального закона, называемый z. n<30: коэффициент запаса, называемый t для n-1.
В этой ситуации соответствующие единицы сами являются средними значениями. Исследователю необходимо будет знать стандартное отклонение не от первоначальных и индивидуальных наблюдений, а от средств, которые рассчитываются на основе них. Это отклонение имеет название — стандартная ошибка среднего.
Представления изменчивости данных используются на графиках, чтобы указать на ошибку или неопределенность в измерении. Они дают общее представление о том, насколько точным является измерение, или, наоборот, насколько далеки от сообщенного истинного значение и оформляются в виде полос ошибок. Они представляют собой одно стандартное отклонение неопределенности, одну стандартную ошибку или определенный доверительный интервал (например, интервал 95%). Эти величины не совпадают, поэтому выбранная мера должна быть указана в графике или в тексте.
Полосы ошибок могут использоваться для сравнения двух величин, если выполняются статистически значимые условия. Строки ошибок указывают на приемлемость соответствия функции, то есть насколько хорошо она описывает данные. Научные работы в экспериментальных науках, включают в себя ошибки на всех графиках, хотя практика несколько отличается и каждый исследователь имеет собственный стиль ошибок.
Полосы ошибок могут использоваться как интерфейс прямой манипуляции для управления вероятностными алгоритмами для приблизительного вычисления. Полосы ошибок могут быть выражены в знаке плюс-минус(±). Плюс - верхний предел, а минус - нижний предел ошибки.
Для правильного определения ДИ существуют онлайн-калькуляторы, которые значительно упрощают работу. Начинают процесс определения с отбора данных. Он является основой всех исследований. Надежная выборка помогает уверенно принимать бизнес-решения. Первый вопрос, который нужно решить — правильное определение целевой группы, он имеет определяющее значение. Если исследователь проводит опрос с людьми вне этой группы - невозможно успешно выполнить задачу. Следующий шаг — решить, сколько людей нужно для проведения собеседования.
Специалисты знают, что небольшая репрезентативная выборка будет отражать мнения и поведение группы, из которой она была составлена. Чем больше образец, тем точнее он представляет целевую группу. Тем не менее скорость улучшения точности уменьшается по мере увеличения размера выборки. Например, увеличение с 250 до 1000 удваивает точность. Принимают решение о размере выборки на основе таких факторов, как: доступное время, бюджет и необходимая степень точности.
Существует три фактора, которые определяют размер ДИ для этого уровня достоверности:
- размер выборки;
- процентная доля выборки;
- размер популяции.
Если 99% участников опроса сказали «Да» и 1% сказали «Нет», вероятность ошибки мала, независимо от размера выборки. Однако если проценты составляют 51 и 49%, вероятность ошибки намного выше. Легче быть уверенным в крайних ответах, чем в средних. При определении размера выборки, необходимого для заданного уровня точности, нужно использовать наихудший процент (50%).
Ниже показана формула расчета доверительного интервала в excel размера выборки онлайн-калькулятора.
Расчеты доверительного интервала предполагают, что есть подлинная случайная выборка соответствующего населения. Если опрос не является случайным, нельзя полагаться на интервалы. Неслучайные выборки обычно возникают из-за недостатков в процедуре.
Создание линейных диаграмм
Создание графика доверительного интервала в Excel относительно простое. Сначала создают свою линейную диаграмму. Затем с выбранным рядом выбирают «Инструменты диаграммы»> «Макет»> «Панель ошибок»> «Дополнительные параметры панели». В появившемся всплывающем меню можно либо выбрать положительные или отрицательные панели ошибок, либо и то, и другое. Можно выбрать стиль и выбрать сумму, которую нужно отобразить. Это может быть фиксированное значение, процент, стандартное отклонение или настраиваемый диапазон.
Если у данных есть стандартное отклонение по умолчанию для каждой точки, выбирают пользовательский и нажимают кнопку «Определить значение». Затем появляется другое всплывающее меню и можно выбрать диапазон ячеек как для положительных, так и для отрицательных панелей.
- Подготовить данные. Сначала в дополнение к средним значениям, понадобится расчет стандартного отклонения (или ошибки).
- Затем в строке 4 нужно рассчитать верхний предел группы, то есть для B4 расчет будет: =B2+B3 В строке 5 нужно рассчитать нижний предел диапазона, т. е Для B5 расчет будет: =B2-B4
- Создать график. Выделите строки 1, 2, 4 и 5 таблицы, а затем нажать «Вставить»> «График»> «Линейная диаграмма». Excel создаст линейную диаграмму.
- Удалить легенду и линии сетки.
- Затем щелкнуть правой кнопкой мыши верхнюю группу диапазонов и выбрать «Изменить тип диаграммы».
- Отформатировать доверительные диапазоны. Чтобы закончить диаграмму просто отформатировать верхнюю серию с голубым заполнением (в соответствии с синей линией), а нижнюю серию — белой заливкой.
В этой диаграмме легко увидеть пределы ошибок, однако если много данных, вид будет беспорядочный. С первого взгляда доверительный предел гораздо более очевидный, учитывая среднее значение выборки, и он будет становиться все более жестким по мере увеличения количества выборок
Константин Кравчик доходчиво объясняет, что такое доверительный интервал в медицинских исследованиях и как его использовать
«Катрен-Стиль» продолжает публикацию цикла Константина Кравчика о медицинской статистике. В двух предыдущих статьях автор касался объяснения таких понятий, как и .
Константин Кравчик
Математик-аналитик. Специалист в области статистических исследований в медицине и гуманитарных науках
Город: Москва
Очень часто в статьях по клиническим исследованиям можно встретить загадочное словосочетание: «доверительный интервал» (95 % ДИ или 95 % CI - confidence interval). Например, в статье может быть написано: «Для оценки значимости различий использовали t-критерий Стьюдента с расчетом 95 % доверительного интервала».
Какого же значение «95 % доверительного интервала» и зачем его рассчитывать?
Что такое доверительный интервал? - Это диапазон, в котором находятся истинные средние значения в генеральной совокупности. А что, бывают «неистинные» средние значения? В каком‑то смысле да, бывают. В мы объясняли, что невозможно измерить интересующий параметр во всей генеральной совокупности, поэтому исследователи довольствуются ограниченной выборкой. В этой выборке (например, по массе тела) есть одно среднее значение (определенный вес), по которому мы и судим о среднем значении во всей генеральной совокупности. Однако едва ли средний вес в выборке (особенно небольшой) совпадет со средним весом в генеральной совокупности. Поэтому более правильно рассчитывать и пользоваться диапазоном средних значений генеральной совокупности.
Например, представим, что 95 % доверительный интервал (95 % ДИ) по гемоглобину составляет от 110 до 122 г/л. Это означает, что с вероятностью 95 % истинное среднее значение по гемоглобину в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 110 до 122 г/л. Иными словами, мы не знаем средний показатель гемоглобина в генеральной совокупности, но можем с 95 %-й вероятностью указать диапазон значений для этого признака.
Доверительный интервал особенно уместен для разницы в средних значениях между группами или, как это называют, в размере эффекта.
Допустим, мы сравнивали эффективность двух препаратов железа: давно присутствующего на рынке и только что зарегистрированного. После курса терапии оценили концентрацию гемоглобина в исследуемых группах пациентов, и статистическая программа нам посчитала, что разность между средними значениями двух групп с вероятностью 95 % находится в диапазоне от 1,72 до 14,36 г/л (табл. 1).
Табл. 1. Критерий для независимых выборок
(сравниваются группы по уровню гемоглобина)
Трактовать это следует так: у части пациентов генеральной совокупности, которая принимает новый препарат, гемоглобин будет выше в среднем на 1,72–14,36 г/л, чем у тех, кто принимал уже известный препарат.
Иными словами, в генеральной совокупности разность в средних значениях по гемоглобину у групп с 95 %-й вероятностью находится в этих пределах. Судить, много это или мало, будет уже исследователь. Смысл всего этого в том, что мы работаем не с одним средним значением, а с диапазоном значений, следовательно, мы более достоверно оцениваем разницу по параметру между группами.
В статистических пакетах, на усмотрение исследователя, можно самостоятельно сужать или расширять границы доверительного интервала. Снижая вероятности доверительного интервала, мы сужаем диапазон средних. Например, при 90 % ДИ диапазон средних (или разницы средних) будет уже, чем при 95 %.
И наоборот, увеличение вероятности до 99 % расширяет диапазон значений. При сравнении групп нижняя граница ДИ может пересечь нулевую отметку. Например, если мы расширили границы доверительного интервала до 99 %, то границы интервала расположились от –1 до 16 г/л. Это означает, что в генеральной совокупности есть группы, различие средних между которыми по изучаемому признаку равняется 0 (М=0).
При помощи доверительного интервала можно проверять статистические гипотезы. Если доверительный интервал пересекает нулевое значение, то нулевая гипотеза, предполагающая, что группы не различаются по изучаемому параметру, верна. Пример описан выше, когда мы расширили границы до 99 %. Где‑то в генеральной совокупности у нас нашлись группы, которые никак не различались.
95% доверительный интервал разницы по гемоглобину, (г/л)
На рисунке в виде линии изображен 95 % доверительный интервал разницы средних значений по гемоглобину между двумя группами. Линия проходит нулевую отметку, следовательно, имеет место разница между средними значениями, равная нулю, что подтверждает нулевую гипотезу о том, что группы не различаются. Диапазон разницы между группами лежит от –2 до 5 г/л, Это означает, что гемоглобин может как снизиться на 2 г/л, так и повыситься на 5 г/л.
Доверительный интервал - очень важный показатель. Благодаря ему можно посмотреть, были ли различия в группах действительно за счет разности средних или за счет большой выборки, т. к. при большой выборке шансы найти различия больше, чем при малой.
На практике это может выглядеть так. Мы взяли выборку в 1000 человек, измерили уровень гемоглобина и обнаружили, что доверительный интервал разницы средних лежит от 1,2 до 1,5 г/л. Уровень статистической значимости при этом p
Мы видим, что концентрация гемоглобина повысилась, но практически незаметно, следовательно, статистическая значимость появилась именно за счет объема выборки.
Доверительный интервал может быть высчитан не только для средних значений, но и для пропорций (и отношений рисков). Например, нас интересует доверительный интервал пропорций пациентов, которые достигли ремиссии, принимая разработанное лекарство. Допустим, что 95 % ДИ для пропорций, т. е. для доли таких пациентов, лежит в пределах 0,60–0,80. Таким образом, мы можем сказать, что наше лекарство оказывает терапевтический эффект от 60 до 80 % случаев.
Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.
Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.
Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной находится в диапазоне от 27% до 34%.
С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.
На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.
Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:
хср - t*σ / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - признак,
t - параметр из таблицы распределения Лапласа,
σ - квадратный корень дисперсии.
Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:
σ2 = х2ср - (хср)2, где
х2ср - среднее значение квадратов исследуемого признака,
(хср)2 - квадрат данного признака.
Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:
хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
хср - выборочное среднее,
α - признак,
t - параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t(ɣ;n-1),
sqrt(n) - квадратный корень общего объема выборки,
s - квадратный корень дисперсии.
Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.
Вначале определим чему равно t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:
хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7)) <= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.
Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.