2.7.3.1. Точные методы исследования нелинейных систем
1. Прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется функция Ляпунова, представляющая собой знакоопределённую функцию координат системы, имеющую также знакоопределённую производную во времени. Применение метода ограничивается его сложностью.
2. Метод Попова (румынский учёный) более прост, но пригоден только для некоторых частных случаев.
3. Метод, основанный на кусочно-линейной аппроксимации. Характеристики отдельных нелинейных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто.
Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико (релейные характеристики). При большом количестве участков – сложно. Решение возможно только с помощью ЭВМ.
4. Метод фазового пространства. Позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими нелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равна порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Применение для систем выше второго порядка практически невозможно.
5. Для анализа случайных процессов можно применять математический аппарат теории Марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность решения уравнения Фоккера-Планка, которое требуется при анализе только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование.
Таким образом, точные методы анализа нелинейных систем хотя и позволяют получить точные, корректные результаты, однако очень сложны, что ограничивает их практическое применение. Эти методы важны с чисто научной, познавательной, исследовательской точки зрения, а поэтому их можно отнести к чисто академическим методам, практическое применение которых к реальным сложным системам не имеет смысла.
2.7.3.2. Приближённые методы исследования нелинейных систем
Сложность и ограниченность практического применения точных методов анализа нелинейных систем привели к необходимости разработки приближенных более простых методов исследования этих систем. Приближенные методы позволяют во многих практических случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем. К приближенным методам относятся:
1. Метод гармонической линеаризации, основанный на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, причём эквивалентность достигается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому. Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникновения в системе управления автоколебаний. Однако метод может быть применён и для исследования переходных процессов нелинейных систем.
2. Метод статистической линеаризации также основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под воздействием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти её некоторые статистические характеристики.
Метод гармонической линеаризации
Применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным уравнением любого порядка. Рассмотрим его только применительно к расчёту автоколебаний в системе автоматического управления. Разобьем замкнутую систему управления на линейную и нелинейную части (рис. 7.2) с передаточными функциями и соответственно.
Для линейного звена:
Нелинейное звено может иметь нелинейные зависимости вида:
и др. Ограничимся зависимостью вида:
Рис. 7.2. К методу гармонической линеаризации
Поставим задачу исследования автоколебаний в данной нелинейной системе. Строго говоря, автоколебания будут несинусоидальными, однако будем считать, что для переменной x они близки к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть (7.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот (ФНЧ). Поэтому линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся в переменной y . Данное предположение носит название гипотезы фильтра. В противном случае, если линейная часть представляет собой фильтр высоких частот (ФВЧ), то метод гармонической линеаризации может дать ошибочные результаты.
Пусть Подставляя в (7.2), разложим (7.2) в ряд Фурье:
Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная составляющая, т.е.
Это условие соблюдается всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие.
Мы приняли, что , тогда .
В записанном разложении произведём замену и отбросим все высшие гармоники ряда, считая, что они отфильтровываются . Тогда для нелинейного звена получим приближённую формулу
где и - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами разложения в ряд Фурье:
Таким образом, нелинейное уравнение (7.2) заменяется приближённым уравнением для первой гармоники (7.3), похожим на линейное уравнение. Особенностью его является то, что коэффициенты уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем случае при более сложной зависимости (7.2) эти коэффициенты будут зависеть и от амплитуды, и от частоты.
Проделанная операция замены нелинейного уравнения приближённым линейным носит название гармонической линеаризации, а коэффициенты (7.4), (7.5) называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена.
Из (7.3) следует, что для рассматриваемой системы передаточная функция нелинейного звена:
Учитывая (7.1) и (7.3), получаем передаточную функцию разомкнутой системы:
и характеристическое уравнение замкнутой системы:
Подставляя в (7.6), находим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:
Не зависит от [см. (7.8)].
Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена определяется формулой:
и равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величены. Аргумент частотной передаточной функции нелинейного звена равен:
Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезистых петель, поэтому - чисто вещественная, а
Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена:
называемая эквивалентным импедансом нелинейного звена. Использование её удобно при расчёте автоколебаний по критерию Найквиста. В качестве примера использования метода гармонической линеаризации рассмотрим релейную характеристику трехпозиционного реле без петли гистерезиса (рис. 7.3). Как видно из рис. 7.3, статическая характеристика симметрична относительно начала координат, следовательно, . Поэтому необходимо найти только коэффициент по формуле (7.4). Для этого подадим на вход звена синусоидальную функцию и построим y(t) (рис. 7.4).
Рис. 7.3. Статическая характеристика трехпозиционного
реле без петли гистерезиса
Как видно из рис. 7.4, при при
Фазовый угол , соответствующий x 1 = b, равен arcsin (b/a) (рис. 7.4).
Учитывая симметрию подынтегральной функции и в соответствии с (7.4), имеем:
Т.к. , то окончательно имеем:
Аналогичным образом можно произвести гармоническую линеаризацию других нелинейных звеньев. Результаты линеаризации приведены в , .
Как отмечалось выше, метод гармонической линеаризации удобен для анализа возможности появления в нелинейной системе режима автоколебаний и определения его параметров. Для расчёта автоколебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее просто и наглядно использование критерия Найквиста. Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае, когда имеется нелинейная зависимость вида и эквивалентная передаточная функция нелинейного звена зависит только от амплитуды входного сигнала .
Рис. 7.4. Пример линеаризации релейной характеристики
Условия возникновения автоколебаний: появление в решении (7.7) пары чисто мнимых корней, а все остальные корни лежат в левой полуплоскости (связь с точкой –1,j0).
Приравняем (7.7) к минус единице:
Для решения (7.12) задаёмся различными значениями , строим АФХ. При некотором а = А АФХ пройдёт через точку (-1,j0), что соответствует отсутствию запасов устойчивости.
Частота и соответствуют частоте и амплитуде искомого гармонического колебания: (рис. 7.5).
Подобным образом можно отыскать периодическое решение для нелинейных зависимостей любого вида, приводящих, в частности, к тому, что эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента зависит не только от амплитуды, но и от частоты. Если же ограничиться рассмотрением нелинейной зависимости вида , то процесс нахождения периодического режима можно упростить.
Рис. 7.5. Условие возникновения автоколебаний
Запишем уравнение (7.12) в виде:
См. (7.11). (7.13)
Уравнение (7.13) просто решается графически. Для этой цели необходимо отдельно построить АФХ и обратную АФХ взятую с обратным знаком. Точка пересечения двух АФХ определяет решение (7.13). Частоту периодического режима находим по отметкам частоты на графике , а амплитуду - по отметкам амплитуды на графике (рис. 7.6).
Однако найденный периодический режим соответствует автоколебаниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот режим может существовать в системе неограниченно длительное время. Устойчивость периодического режима можно определить следующим образом.
Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна. Дадим амплитуде А некоторое положительное приращение А. Тогда возрастёт, следовательно, уменьшится. В результате уменьшается, следовательно, ещё больше удаляется от точки (-1,j0). А уменьшается и будет стремиться к 0. Аналогично, если А получило отрицательное приращение - А. Тогда уменьшится, следовательно, возрастёт, возрастёт, а, следовательно, амплитуда увеличится, т.к. АФХ приблизится к точке (-1,j0) (уменьшение запасов устойчивости).
Рис. 7.6. Условие возникновения автоколебаний при нелинейной
зависимости вида
Следовательно, всякое случайное отклонение А так изменяет систему, что амплитуда восстанавливает своё значение. Это соответствует устойчивости периодического режима, который соответствует автоколебаниям.
Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится к тому, чтобы часть кривой , соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась АФХ линейной части системы, что соответствует наличию одной точки пересечения характеристики с отрицательной частью оси вещественных значений (см. рис. 7.6).
При пересечении АФХ разомкнутой системы отрицательной части оси вещественных значений два раза возможно прохождение АФХ через точку (-1,j0) при двух значениях и (рис. 7.7).
Две точки пересечения соответствуют двум возможным периодическим решениям с параметрами и . Аналогично тому, как делалось выше, можно убедиться, что первая точка соответствует неустойчивому режиму периодических колебаний, а вторая – устойчивому, т.е. автоколебаниям (рис. 7.8).
В более сложных случаях, когда, допустим, неустойчива, можно определить устойчивость получаемого периодического режима, рассматривая расположение АФХ разомкнутой системы. Общим здесь остаётся то положение, что для получения устойчивости периодического режима необходимо, чтобы положительное приращение амплитуды приводило к сходящимся процессам в системе, а отрицательное – к расходящимся.
При отсутствии в системе возможных периодических режимов, близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчётом, существует много различных вариантов поведения системы. Однако в системах, линейная часть которых обладает свойством подавления высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних параметрах имеется периодическое решение , а при других нет, есть основание полагать, что при отсутствии периодического решения система будет устойчива относительно равновесного состояния. В этом случае устойчивость равновесного состояния можно оценить требованием, чтобы при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывала годографа
Метод статистической линеаризации нелинейных характеристик
Для оценки статистических характеристик нелинейных систем можно использовать метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистики равноценна исходной нелинейной характеристике.
Замена нелинейного преобразования линейным является приближённой и может быть справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому понятие статистической эквивалентности, на основе которого производится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного и заменяющего его линейного преобразований.
В случае когда линеаризации подвергается нелинейная безынерционная зависимость вида (7.2) , обычно применяются следующие критерии статистической эквивалентности :
Первый требует равенства математических ожиданий и дисперсий процессов и , где - выходная величина эквивалентного линеаризованного звена, а - выходная величина нелинейного звена;
Второй требует минимизации среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного элементов.
Рассмотрим линеаризацию для случая применения первого критерия. Заменим нелинейную зависимость (7.2) линейной характеристикой (7.14), которая имеет такие же математические ожидания и дисперсию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой (7.2). С этой целью представим (7.14) в виде: , где - центрированная случайная функция.
По выбранному критерию коэффициенты и должны удовлетворять следующим соотношениям:
Из (7.15) следует, что статистическая равноценность имеет место, если
причём знак должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики F(x ).
Величины и называют коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления нужно знать и сигнала на выходе нелинейного звена:
где - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного звена.
Для второго критерия коэффициенты статистической линеаризации выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного звена, т.е. обеспечить выполнение равенства
Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из (7.16), (7.17) и (7.18), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским (нормальным), описываемым выражением
Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах управления соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т.е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме этого, изменение закона распределения в широких пределах малого влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных элементов распределены по гауссовскому закону.
При этом коэффициенты и зависят только от и сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты и могут быть заранее вычислены, что существенно упрощает расчёты систем методом статистической линеаризации. Для нормального закона распределения и типовых нелинейных звеньев при расчете нелинейных систем можно воспользоваться данными, приведенными в .
Применение метода статистической линеаризации для анализа
стационарных режимов и срыва слежения
Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем. Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе, изображённой на рис. 7.9,
где F(e) – статическая характеристика нелинейного элемента (дискриминатора);
W(p) – передаточная функция линейной части системы.
Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения.
При анализе точности работы относительно неслучайной составляющей сигнала g(t) нелинейный элемент F(e) в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи . Динамическая ошибка, как было показано ранее, находится по формуле: ,
Пример нахождения и , а также определения условия срыва слежения приведён в .
Вопросы для самопроверки
1. Назовите приближенные методы анализа нелинейных систем.
2. В чем заключается сущность метода гармонической линеаризации?
3. В чем заключается сущность метода статистической линеаризации?
4. Для каких нелинейных звеньев q¢ (a) = 0?
5. Какие критерии статистической эквивалентности вы знаете?
"Теория автоматического управления"
"Методы исследования нелинейных систем"
1. Метод дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:
где: – переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); – нелинейные функции; u – задающее воздействие.
Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:
где – начальные условия.
Если отклонения не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.
2. Метод фазового пространства
Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).
Движение системы определяется изменением ее координат - в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).
Фазовым пространством называется пространство координат системы.
С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).
Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.
Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.
Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.
Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.
Применение метода фазовой плоскости для линейных систем
Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Пусть задана система (рис. 3).
Рассмотрим свободное движение системы. При этом: U(t)=0, e(t)=– x(t)
В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид
где 
(1)
Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно
. (2)
Корни характеристического уравнения определяются из соотношений
(3)
Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы
уравнений 1-го порядка:
(4)
где скорость изменения регулируемой величины.
В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.
Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.
. (5)
Это уравнение с разделяющимися переменными
Рассмотрим несколько случаев
Файлов GB_prog.m и GB_mod.mdl, а анализ спектрального состава периодического режима на выходе линейной части – при помощи файлов GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Cодержание файла GB_prog.m: %Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса %Используемые файлы: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. %Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯ часть. %Очистка всех...
Безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных. В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы...
Критерий устойчивости Попова В.М.
(румынский ученый)
Это частотный метод исследования устойчивости НЛ САУ с однозначной нелинейностью, удовлетворяющей условию
Рассматривается устойчивость положения равновесия
Достаточные условия абсолютной устойчивости таких систем сформулированы Поповым В.М.
1.Вводится передаточная функция
Предполагается,
что
соответствует асимптотически устойчивой
системе (проверяется по любому из
критериев устойчивости).
2.Находится частотная
характеристика
.
3.Строится
видоизмененная частотная характеристика
,
которая определяется соотношением
Re
=Re
,
Im
=
.
4.На комплексной
плоскости строится
.
Критерий Попова:
Если через точку
на действительной оси можно провести
прямую линию так, чтобы видоизмененная
АФЧХ
лежала по одну сторону от этой прямой,
то замкнутая НЛ САУбудет
абсолютно устойчива.
Пример. Исследовать абсолютную устойчивость НЛ САУ со структурной схемой рис.1, если
Так как все
в характеристическом уравнении 2-го
порядка больше нуля, то
- асимптотически устойчива и, следовательно,
условие (1) критерия устойчивости Попова
выполняется.
Re
=Re
=
Im
=
Im
=
Строим
АФЧХ
.
Асимптотическая устойчивость для специального вида
нелинейных характеристик
1.Неоднозначная нелинейная характеристика
Состояние покоя будет абсолютно устойчивым, если
1.
соответствует асимптотически устойчивой
системе.
2.
2.Система с релейной характеристикой
r =0 . Это частный случай рассмотренной выше характеристики.
Достаточное условие абсолютной устойчивости – вместо условия (2)
3.Нелинейность типа реле
1.
- асимптотически устойчива.
2.Im
Абсолютная устойчивость процессов
Рассмотрим теперь
устойчивость не систем стабилизации
(номинальный режим – состояние покоя),
а случай, когда номинальный режим
характеризуется входным сигналом
и выходным сигналом
,
которые являютсяограниченными
непрерывными
функциями времени.
Будем предполагать,
что нелинейный элемент имеет вид
,
где
- непрерывная однозначная функция,
удовлетворяющая условию
т.е. ограничена
скорость изменения нелинейной
характеристики. Это достаточно жесткое
условие.
В этом случае для
обеспечения абсолютной устойчивости
ограниченного процесса
,
достаточно, чтобы выполнялись условия6
1.
-
было асимптотически устойчива.
2.
.
В частном случае, когда r =0
или
Теория, связанная с развитием идей Попова еще не закончена, здесь возможны новые более сильные результаты. Сводка таких результатов на сегодняшний день имеется в книге Наумова «Нелинейные системы автоматического управления».
Приближенные методы исследования нелинейных сау
Метод гармонического баланса
При исследовании
НЛ САУ иногда можно наблюдать появление
периодических изменений выходной
величины у(t
)
даже в тех случаях, когда
Если при изучении САУ ограничитьсялинейной
моделью с постоянными коэффициентами,
то указанное явление (собственные
колебания) может иметь место только
при наличии в характеристическом
уравнении чисто мнимых корней
.
Однако при таком объяснении малое изменение параметров системы «сдвинет» корень с мнимой оси налево или направо и собственные колебания либо затухают либо раскачиваются. На практике же в нелинейных системах периодические колебания выходного сигнала сохраняются при малых изменениях параметров системы.
Такого рода незатухающие колебания объясняются нелинейным характером системы. Они называются автоколебаниями.
Рассмотрим метод гармонического баланса, который позволяет по взаимному протеканию АФЧХ линейной части и и характеристики нелинейного элемента определить наличие или отсутствия автоколебаний.
Рассмотрим одноконтурную систему, в которой выделяется нелинейный элемент
(1)
и линейная часть
с передаточной функцией
.
Предполагается:
1.
соответствует устойчивой системе,
2. нелинейная
характеристика
- нечетная симметричная, т.е.
,
3.входной сигнал
,
т.е. это система стабилизации.
Будем искать выходной сигнал у(t ) в виде
,
(2)
где
-
амплитуда автоколебаний,
-
частота автоколебаний.
и
надо определить.
Гипотеза о синусоидальном характере у(t ) выглядит произвольной. Однако далее будут приведены условия, при выполнении которых эта гипотеза становится естественной.
Поскольку
,(3)
Пропустим сигнал
последовательно через нелинейный
элемент и линейную часть и найдем
уравнения, их которых можно будет
определить амплитуду
и частоту
автоколебаний в НЛ САУ.
Прохождение
через линейный элемент
Так как
-
периодическая
функция, то сигнал
на выходе
нелинейного
элемента
также будет
периодической функцией, но отличной от
синусоиды.
Спектр
Спектр
Как известно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье:
(4)
Мы предполагаем, что свободный член в формуле (4) равен нулю. Это будет иметь место, например, когда характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию
,
т.е это нечетная функция.
Здесь коэффициенты
Фурье
и
определяются:
,
(5)
Преобразуем (4) ,
умножив и поделив каждый член в правой
части на
(6)
.
Напомним, что
(8)
Таким образом при
прохождении сигала
через нелинейный элемент, на выходе
нелинейного элемента сигал
содержит множество гармоник, кратных
.
(см. рисунок выше).
Прохождение
сигнала
через
линейную часть
Из теории
линейных систем мы знаем, что если на
вход линейного звена с передаточной
функцией
,
соответствующей устойчивой системе,
подать гармонический сигналто в установившемся режиме на выходе
этого звена будет сигнал.
Здесь
-
модуль частотной характеристики
в точке
,
аргумент
.
Используя эти
соотношения, мы можем выписать выражения
для
,
пропуская по отдельности через линейную
часть все составляющие ряда (8) и суммируя
затем полученные выражения для
В силу линейности системы такая процедура законна.
Получим, полагая
:
Полученное выражение
(9) для
имеет достаточно сложную структуру.
Его можно существенно упростить,
используягипотезу
фильтра.
Изучая частотные
характеристики типовых элементарных
звеньев, мы видели, что их АЧХ стремятся
к нулю при
Гипотеза фильтра состоит в том, что АЧХ в правой части (9) убывает с ростом частоты настолько быстро, что в (9) можно учитывать лишь первый член, соответствующий к=1 , и считать остальные члены пренебрежимо малыми. Другими словами – гипотеза фильтра – это гипотеза о том, что линейная часть САУ практически не пропускает высокочастотные колебания. Поэтому формула (9) (и в этом состоит приближенность метода) упрощается следующим образом:
Таким образом, при замыкании системы в предположении гипотезы фильтра мы получим баланс гармоник (отсюда и название метода – метод гармонического баланса)
Рассмотрим как с
помощью метода
гармонического
баланса
определить амплитуду а
и частоту
автоколебаний.
Введем понятие эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента:
(11)
Если
(а это имеет место при однозначных
симметричных нелинейных характеристиках),
то
(12)
Характеристическое уравнение замкнутой САУ (рис.1) имеет вид:
или частотная характеристика
(13)
(14)
Представим
Тогда уравнение (14) перепишется:
=
(17)
Равенство (14) или
(17) является основой графо-аналитического
метода определения параметров
автоколебаний а
и
.
На комплексной плоскости строится АФЧХ линейной части
и характеристика нелинейного элемента
Если кривые пересекаются, то в САУ существуют автоколебания.
Частота автоколебаний
в точке пересечения кривых по
, а амплитуда- по
.
Рассмотрим подробнее выделенный участок
Мы знаем амплитуду и частоту точек, ближайших к точке пересечения кривых. Амплитуду и частоту в точке пересечения можно определить, например, методом деления отрезка пополам.
Метод гармонической линеаризации
Это очень эффективный приближенный метод определения периодических колебаний в НЛ САУ.
Для применения метода гармонической линеаризации нелинейности необходимо выполнение требования – линейная часть должна обладать свойствами фильтра, т.е. она не должна пропускать высокие частоты.
На практике это требование обычно выполняется.
Пусть имеется нелинейный элемент
(1)
Пусть
(2)
Тогда
(3)
Разложим (1) в ряд Фурье:
Напомним, нелинейная функция F (x ) , разложенная в ряд Фурье, имеет вид:
,
,
,
Тогда ряд Фурье для нашей нелинейности будет иметь вид:
++высшие
гармоники (4)
Положим постоянную
составляющую
Из уравнения (2):
Из уравнения (3):
Тогда уравнение (4) можно переписать:
,
В уравнении (5) пренебрегаем высокими частотами и в этом приближенность метода.
Таким образом,
нелинейный элемент при
заменяется линеаризованным выражением
(5), которое при выполнении гипотезы
фильтра линейной части принимает вид:
(6)
Эта процедура называется гармонической линеаризацией.
Коэффициенты
и
припостоянных
а
и
.
В динамическом же режиме, когда изменяютсяа
и
,
коэффициенты
и
будут изменяться. В этом отличие
гармонической линеаризации от обычной.
(При обычной линеаризации коэффициент
линеаризованного уравненияК
зависит от точки линеаризации).
Зависимость коэффициентов линеаризации
от а
и
позволяет применить к НЛ САУ (6) методы
исследования линейных систем и
анализировать свойства НЛ САУ, которые
не могут быть обнаружены при обычной
линеаризации.
Коэффициенты гармонической линеаризации
некоторых типовых нелинейностей
Релейная характеристика
2.Релейная характеристика с зоной нечувствительности
,
Амплитуда колебаний
3.Релейная характеристика с петлей гистерезиса
,
,
4.Релейная характеристика с зоной нечувствительности и петлей гистерезиса
,
Теперь рассмотрим замкнутую систему.
,
Можно ввести понятие передаточной функции нелинейного элемента
,
.
Тогда характеристическое уравнение замкнутой САУ:
,
или
Когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды и частоты, то коэффициенты гармонической линеаризации становятся постоянными и САУ становится линейной. А в линейной системе наличие периодических незатухающих колебаний говорит о наличии у нее чисто мнимых корней.
Таким образом для
определения периодических
решений
надо в характеристическое уравнение
подставить
.
Здесь
- текущая частота, а
-
частота автоколебаний.
В этом уравнении
неизвестными являются
и
.
Выделим в этом уравнении действительную и мнимую части.
Введем для частоты
и амплитуды искомого периодического
решения обозначения
,
.
Получим два уравнения с двумя неизвестными.
Решив эти уравнения,
найдем
и
- амплитуду и частоту периодических
решений в НЛ САУ.
С помощью этих
уравнений можно определить не только
и
,
но и построить зависимость
и
,
например, от коэффициента усиления САУК
.
Тогда, считая К переменным, запишем:
Задаваясь К
,
находим
и
,
т.е
и
Можно выбрать К так, чтобы
1.
было бы мало,
2.
было бы неопасно для САУ,
3.автоколебаний не было бы.
С помощью этих же уравнений можно на плоскости двух параметров (например, Т и К ) построить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний. Для этого уравнения переписывают:
Задаваясь числовыми
значениями
,
получим
и
По этим графикам можно выбирать Т и К.
Определение устойчивости решений в нелинейных САУ
Автоколебаниям в
НЛ САУ должны соответствовать устойчивые
периодические решения. Поэтому после
нахождения амплитуды
и частоты
периодических решений необходимо
исследовать их на устойчивость.
Рассмотрим приближенный метод исследования устойчивости периодических решений в НЛ САУ с помощью годографа Михайлова.
Пусть НЛ САУ
,
.
- получена с помощью метода гармонической
линеаризации.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
Запишем уравнение
характеристической кривой (годографа
Михайлова), для чего подставим в него
.
- текущее значение
частоты вдоль годографа Михайлова,
- частота гармонической
линеаризации (автоколебаний).
Тогда для любых
заданных постоянных
и
кривая Михайлова будет иметь такой же
вид, как и для обыкновенных линейных
систем.
При периодических
решениях, соответствующих
и
,
годограф Михайлова будет проходить
через начало координат (т.к. система
находится на границе устойчивости).
Для
определения устойчивости периодических
решений дадим
приращение
Если при
кривая Михайлова займет положение 1, а
при
- положение 2, то
периодическое решение устойчиво.
Если при
кривая займет положение 2, а при
- положение 1, то периодическое решение
неустойчиво.
Общим методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется так называемая функция Ляпунова, представляющая собой знако-определенную функцию координат системы, имеющую также знако-определенную производную по времени. Применение этого метода ограничивается его сложностью.
Более простым методом расчета устойчивости нелинейных систем является метод, разработанный румынским ученым В. М. Поповым. Однако он пригоден для некоторых частных случаев.
Процессы в нелинейной системе могут быть исследованы на основе кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае нелинейные характеристики отдельных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто. На границах участков необходимо произвести «сшивание» отдельных кусков процесса в единый процесс. Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико. Это имеет, например, место для релейных характеристик (см. рис. 5.1). При большом числе участков метод оказывается слишком громоздким. Однако использование ЭВМ позволяет преодолеть эту трудность и с успехом рассчитывать процессы в нелинейных системах при любых нелинейных характеристиках и вообще при наличии нелинейных зависимостей произвольного вида.
Метод фазового пространства в принципе позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими иелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих (в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равка порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Это затрудняет использование метода для исследования систем, описываемых дифференциальным уравнением выше второго порядка. В случае дифференциального уравнения второго порядка фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, и этот метод может быть с успехом применен .
Для анализа случайных процессов в нелинейных автоматических системах можно применять математический аппарат теории марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность
решения уравнения Фоккера - Планка, которое требуется при анализе, только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование .
Все перечисленные методы относятся к числу точных. Их сложность и ограниченность применения привели к разработке приближенных, но более простых методов исследования нелинейных систем. Приближенные методы позволяют во многих случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем }